IS-LM分析：曲線の導出や覚え方をわかりやすく解説

IS-LM分析は、マクロ経済学において最重要な論点の一つです。また市場バランスを把握する上で、IS-LM曲線は不可欠なツールでもあります。

しかし、IS-LM曲線の導出や覚え方は難しいと感じる方も多いかもしれません。実際には単なる連立方程式なので簡単です。そこで本記事では、IS-LM曲線の導出や覚え方をわかりやすく解説します。

1 IS-LM分析とは
- 1.1 均衡条件を考えるときの準備
2 IS曲線とは財市場の均衡条件
3 LM曲線とは貨幣市場の均衡条件
4 IS-LM曲線の交点

IS-LM分析とは

IS-LM分析は、財市場と金融市場が同時に均衡するポイントを調べるための方法です。このとき連立方程式によってIS曲線とLM曲線の交点を求める手法をとります。イメージは以下のようになります。

IS曲線は、財市場が均衡する条件を示す式であり、LM曲線は、貨幣供給量が均衡する条件を示す式になります。これらの2曲線の交点を求めることによって、財市場と貨幣市場が同時に均衡する条件を見つけることができます。

これを実行するには①IS曲線とLM曲線を導出し②これら利用して連立方程式を立てます。このように2段階の過程があることを意識してください。それではIS曲線、LM曲線について説明していきます。

均衡条件を考えるときの準備

これからマクロ経済について需要と供給が一致する条件（均衡条件）を考えていきますが、初学者にはイメージが難しいと思います。そこで、準備段階を挟むことで理解を簡単にしようと思います。

まずは中学・高校で学習する需要と供給のグラフをイメージしましょう。以下のように横軸に数量、縦軸に価格とするグラフが一般的です。

例えば、リンゴ市場をイメージしましょう。1個100万円のリンゴは高すぎて誰も買いません。一方で1個10円のリンゴは誰もが買いたいと思います。なお、りんごの品質は均一とします。

1個100万円で販売していた農家は値段を下げ、1個10円で販売していた農家は値上げすることになります。そうすれば、いつの間にかリンゴの価格と数量は1つに決まります。このときの価格を均衡価格、このときの数量を均衡量といいます。

このように、需要と供給は自動的に均衡点に落ち着くという性質があります。今はリンゴ市場だけを考えましたが、全ての商品やサービスをまとめた財市場でも需要と供給は均衡します。

また商品・サービスだけでなく、お金そのもの（貨幣）についても需要と供給が存在します。リンゴ市場のようなミクロ視点ではなく、財・貨幣といったマクロ的な視点で需要と供給を考えていきます。

IS曲線とは財市場の均衡条件

財市場の需要と供給を考えていきます。前述のリンゴ市場では価格と数量が自動調節されることを理解しましたが、マクロ経済では多くの商品をまとめて考えるため、それぞれの価格を個別に考えることはしません。

代わりに物価水準を考えることになりますが、IS-LM分析では物価は一定という前提で行います。そのため数量調節のみを考えることになります。つまり需要量や供給量が変化し、均衡点に達します。

財市場の総供給曲線

そこで着目すべきは総供給量、総需要量といった指標になります。ここで国全体の総供給量はGDP（国内総生産）そのものです。例えば1億円の財・サービスを生産した場合、それはそのまま総供給量が1億円になります。計算式で示すと、総供給量=GDPです。

また三面等価の原則によりGDP（国内総生産）は国民所得と捉えることができます。計算式で示すと GDP=国民所得となります。なお分配面から見たGDP=雇用者報酬＋営業余剰＋固定資本減耗＋間接税−補助金になります。

これらの関係を連立方程式で表現すると以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
総供給Ys = GDP \\
GDP = 国民所得Y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
つまり総供給Ys＝国民所得Yという計算式が成立します。これをグラフ化すると以下のようになります。

「総供給Ys＝国民所得Y」であるため、当然ながら傾きは1、横軸との角度は45度になります。意味としては国民所得が多い国ほど、総供給量も比例して大きくなりまます。

横軸をGDPではなく国民所得Yとする理由について気になるかもしれません。確かにGDPでも同じ意味のため問題ありませんが、45度線分析やIS-LM分析では国民所得Yを横軸にしているため、「そういうものだ」と考えた方が良いでしょう。

財市場の総需要曲線

続いて総需要 \(Y_{D}\)について考えていきます。総需要とは財市場にある商品・サービスを購入される総量と考えるといいです。ここで商品・サービスは誰が購入するかを考えると、個人消費（C）、企業投資（I）、政府支出（G）の3つが代表例です。そこで以下のような等式になります。

\(総需要Y_{D}=C+I+G\)

ちなみに、この式には「在庫品増加分」が考慮されていないため、三面等価の原則には使えないため注意が必要です。これについては説明が長くなってしまうため割愛させていただきます。

さて前述の財市場の総供給曲線では横軸を国民所得Yを使いました。総需要曲線についても国民所得Yを利用することで同一のグラフに記載することができます。ここで個人消費Cに着目します。ケインズは個人消費と国民所得Yの関係を以下のような計算式で説明しました。

\(個人消費C=cY+C_{0}\)

これをケインズ型消費関数といいます。意味としては国民所得Yが大きいほど、個人消費Cは大きくなるというものです。なお傾きcは\(0<c<1\)の範囲を取ります。所得すべてを消費に回すとc=1、すべてを貯金に当てるとc=0という意味です。

総需要と個人消費を表す2式を連立方程式にすると以下のようになります。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
総需要Y_{D} = C+I+G \\
個人消費C=cY+C_{0}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

つまり \(総需要Y_{D}=cY+C_{0}+I+G\)という計算式が成り立ちます。このような式変形を行うことによって、総需要 \(総需要Y_{D}\)を国民所得Yの関数で表すことができます。これをグラフにすると以下のようになります。

こうすることで、国民所得Yが大きくなるほど個人消費Cが大きくなり、結果的に総需要 \(Y_{D}\)も大きくなっていることが分かります。

財市場の総供給曲線と総需要曲線の交点

財市場全体の総供給、総需要が一致するポイントを探したいとき、以下の連立方程式を考えます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
総供給Y_{S} = Y\\
総需要Y_{D} = cY+C_{0}+I+G\\
総供給Y_{S} = 総需要Y_{D}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

ここでx軸を国民所得Yとした意味が発揮されます。総供給曲線と総需要曲線は国民所得Yを変数としているため、同じグラフで書くことができ、以下のようになります。

この状態では商品・サービス全体の需要と供給が一致している経済が成立しています。マクロ経済についても、市場の自動調節機能が働き、需要と供給が一致します。このときの国民所得は均衡国民所得に落ち着きます。

投資（I）を利子率の関数で表す

ここまでは財市場のことだけを議論してきましたが、IS-LM分析では財市場と貨幣市場を考えます。そこで、上記の議論を発展させる必要があります。このときの工夫として投資（I）を利子率（r）の関数で表すことから始めます。

結論から言うと、IS-LM分析は縦軸を利子率（r）、横軸を国民所得（Y）とするグラフで交点を探すためです。そこで利子率（r）を\(Y = cY+C_{0}+I+G\)という財市場均衡条件の式に組み込みたいと思います。

そこでI（投資）について考えます。通常、投資額は利子率によって影響を受ける変数であることが知られています。

企業は資金を調達するとき利子率が低いと借り入れがしやすく、投資が増加します。一方で利子率が高いと借り入れが難しく投資が減少します。これを計算式で表すと以下のようになります。

\(投資I=-a×利子率r+b\)

ここでは分かりやすさを重視するため、上記の係数にa=1、b=0を代入します。このようにしても最終的な結論は同じになります。

\(投資I=-r\)

これを利用して利用して財市場均衡条件の式に代入します。つまり以下の連立方程式を考えます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
財市場均衡条件Y = cY+C_{0}+I+G\\
投資I = -r\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

こうすることで利子率rという変数を式に組み込むことができました。なお式変形により「r=」とすると財市場均衡条件の式は以下のようになります。

\(r=(c-1)Y+C_{0}+G\)

ケインズ型消費関数で説明した通り、cは\(0<c<1\)の範囲をとります。そのため\(-1<c-1<0\)となり、上記のグラフの傾きは負になります。実際にグラフにすると以下のようになります。

そして、このグラフがIS曲線になります。このグラフは\(Y = cY+C_{0}+I+G\)という財市場均衡条件の式を変形しただけです。そのため、曲線上では財市場が均衡しています。

より具体的に表現すると、IS曲線上には利子率rと国民所得の組み合わせは複数あり、例えば以下のグラフでは点\((r_{1},Y_{1})\)や点\((r_{2},Y_{2})\)になります。

これらの点では財市場均衡条件を満たしているということになります。IS曲線だけを考えると利子率rは低いほどGDPが大きくなります。しかし、貨幣市場を考えると結論が異なります。

そこでLM曲線を加えて財市場と貨幣市場が均衡する利子率と国民所得の組み合わせを探すことになります。

LM曲線とは貨幣市場の均衡条件

前述のリンゴ市場では価格と数量が自動調整されることを理解しましたが、貨幣市場でも貨幣の需要と供給が均衡します。しかし、貨幣需要・貨幣供給はイメージが難しいです。そこで順番に説明していきます。

貨幣市場の供給曲線

貨幣供給は「市場に供給されたお金」というイメージを持つことが重要です。専門用語を使うとマネーストックと言います。マネーストックを簡単に説明すると、我々個人や企業が保有する通貨残高になります。

マネーストックを増やしたり減らしたりするのは中央銀行（日銀）が決定します。なお日本のマネーストックは以下のように右肩上がりになっていることが分かります。

このように日銀が市場にマネーを供給しており、その総額がマネーストックになります。ただ、「マネーサプライ=貨幣供給」と考えることはできません。

マネーサプライの単位は円やドルですが、インフレやデフレにより通貨価値は変化して行きます。そのため物価を考慮した実質貨幣供給量を考える必要があります。ここまでを式として表現すると以下のようになります。

\(\displaystyle貨幣供給L_{S}=\frac{マネーストックM}{物価水準P}\)

ここで縦軸が利子率r、横軸が実質貨幣供給量（M/P）の平面に上記式をグラフとして記載してみましょう。なお利子率rは式に含まれないため、以下のようになります。

なぜ利子率rをグラフに入れたのか不思議に思うかもしれません。貨幣供給には利子率は関係ありませんが、貨幣需要は利子率rによって変動します。

需要と供給が一致するグラフを書きたいので、あらかじめ利子率をグラフに登場させていることを理解してください。

では実質貨幣供給量はどのように増減するかについては単純です。マネーストック Mが増えれば実質貨幣供給量は増えます。

なお物価水準PについてはIS-LM分析では一定としているため考えませんが、理屈上は物価水準（消費者物価指数やGDPデフレーター）が大きくなるインフレ時に実質貨幣供給量は減少します。

貨幣市場の需要曲線

貨幣需要\(L_{D}\)を考えるとき、「取引的動機に基づく貨幣需要\(L_{1}\)」「投機的動機に基づく貨幣需要\(L_{2}\)」2つの要素を考える必要があります。

取引的動機に基づく貨幣需要

我々が買い物をするとき、貨幣が必要になります。つまり、たくさん買い物をする人ほど貨幣が必要であり、貨幣需要はは大きくなります。

ただマクロ経済学では個人の買い物ではなく国家レベルの議論を行います。そこで、以下のように言い換えることができます。

例えばGDPランキング世界第1位のアメリカの貨幣需要は大きく、GDPが小さいパプアニューギニアの貨幣需要は小さいということになります。

投機的動機に基づく貨幣需要

投機的貨幣需要の意味として「儲けるために債券と現金のどちらで保有したいか」を考えると分かりやすいです。しかし、債券を購入したことがない場合はイメージが難しいです。そこで、簡単なイメージをお伝えしておきます。

国や地方自治体が投資家にお金を借りたとき、債券が発行されます。投資家は一定の間隔で利息を受け取ることができます。最終的に満期を迎えると、貸した額面金額が投資家に払い戻されます。

ただし満期を待たずに債券自体を売買することができるため、価格が変動します。このとき、債券を保有することで得られる利息と最終的な償還額面は同じです。そのため、債券価格が安いときに購入すれば利回りが高いという計算になります。

イメージは以下のようになります。100万円の債券を購入し、満期まで保有すれば102万円を手にすることになります。

一方で債券価格が90万円のときに購入し、利息2万円を受け取って満期を迎えた場合、102万円を手にするのは同じでも、儲けは10万円分多いことになります。

つまり、債券価格が低いとき（利回りが高いとき）現金ではなく債券で持ちたいという人が多くなります。要するに貨幣需要は低下します。

なお市場の利子率と債券利回りは連動しています。その結果、利子率が高いとき、貨幣需要は低下します。

ここまで説明したように、利益（儲け）を得るために生じる貨幣需要を投機動機に基づく貨幣需要と言います。

貨幣需要\(L_{D}\)を考えるとき、「取引的動機に基づく貨幣需要\(L_{1}\)」「投機的動機に基づく貨幣需要\(L_{2}\)」2つの要素を考えることについて説明しました。次に、これらを式にまとめると以下のようになります。

\(L_{D}=YL_{1}-rL_{2}\)

\(YL_{1}\)は国民所得\(Y\)が大きいほど取引的動機に基づく貨幣需要\(L_{1}\)が大きいことを示しています。\(-rL_{2}\)は利子率\(r\)が大きいほど投機的動機に基づく貨幣需要\(L_{2}\)が小さくなることを示しています。

ここで貨幣需要の式を横軸を貨幣需要\(L_{D}\)、縦軸を利子率\(r\)の平面上で表したいと思います。

グラフを確認しても、確かに利子率が高いほど貨幣需要は低くなっていることが分かります。

貨幣市場の供給曲線と需要曲線の交点

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
貨幣供給L_{S} = \frac{M}{P}\\
貨幣需要L_{D} = YL_{1}-rL_{2}\\
貨幣供給L_{S} = 貨幣需要L_{D}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

この状態では貨幣の需要と供給が一致している経済が成立しています。ただ、IS-LM分析では横軸を貨幣需要\(L_{D}\)、縦軸を利子率\(r\)の平面上で表したいので、上記式を以下のように変形します。

\(r=\frac{L_{1}}{L_{2}}Y-\frac{M}{L_{2}P}\)

これをグラフにすると以下のようになります。

そして、このグラフがLM曲線になります。このグラフは貨幣市場均衡条件の式を変形しただけです。そのため、曲線上では貨幣市場が均衡しています。

より具体的に表現すると、LM曲線上には利子率rと国民所得の組み合わせは複数あり、例えば上記グラフでは点(𝑟1,𝑌1)や点(𝑟2,𝑌2)になります。

これらの点では貨幣市場均衡条件を満たしていることになります。LM曲線だけを考えると利子率rが大きいほどGDPが大きくなります。

IS-LM曲線の交点

導出したIS曲線とLM曲線は同じグラフ上に記載することができます。実際には以下のようになります。単純に連立方程式を考えるだけです。

財市場（IS曲線）だけを考えると国民所得\(Y\)を高くするには利子率\(r\)は低いほど良いことになります。しかし、貨幣市場を考えると国民所得\(Y\)を高くするには利子率\(r\)は高いほど良いことになります。

財市場と貨幣市場がちょうど良く均衡する均衡利子率\(r\)と国民所得\(Y*\)の組み合わせは1点しかありません。

上記のように財市場と貨幣市場が均衡するポイントは1つしかありません。ここから逆算することで財政政策や金融政策の戦略を決めることができます。

財政政策の効果とIS-LM分析

財政政策とは、政府が国の経済を調整するために行う政策の一つです。具体的には、政府が税金を減らしたり、予算を増やしたりすることで、国の経済を調整しようとします。

例えば、景気が悪くなって企業の利益が減少した場合、政府は税金を減らしたり、公共事業を増やすことで国の経済を刺激しようとします。例えばダムや道路の建設を増やすことが該当します。これを拡張的財政政策と言います。

一方、景気が良すぎてインフレーションが起こり、物価が上昇しすぎると、政府は税金を増やしたり、予算を削減したりすることで、経済を抑制しようとします。これを緊縮的財政政策と言います。

これをIS-LM分析で考えてみましょう。IS曲線は以下の式で記載できることを思い出しましょう。

\(r=(c-1)Y+C_{0}+G\)

ここで政府支出Gを10だけ増加させたとき、IS曲線の切片が10増加するため、グラフは以下のように移動することになります。

赤色のIS曲線が右シフトしていることが分かります。それに伴い、均衡国民所得も増加していることが分かります。つまり政府支出Gを増加させるとIS曲線が右シフトし、国民所得\(Y\)が増加します。

またIS曲線の導出では税金については省略しましたが、ケインズ型消費関数では定額税を考慮すると以下のようになります。

\(個人消費C=c(Y-T)+C_{0}\)

減税をするとTが減少するため個人消費Cは増加します。結果的にIS曲線は右シフトして国民所得\(Y\)は増加します。

金融政策とIS-LM分析

金融政策とは、中央銀行が貨幣供給量（マネーストック）を調整することで、国の経済を調整する政策のことです。

例えば、景気が悪くなっていた場合、中央銀行はマネーストックを増やし、経済を刺激しようとします。これを拡張的金融政策と言います。

一方、景気が良すぎてインフレーションが起こる場合、マネーストックを減らし経済を抑制しようとします。これを緊縮的金融政策と言います。

つまり、金融政策は、中央銀行がお金の供給量を調整することで、国の経済を調整する政策であると言えます。これをIS-LM分析で考えてみましょう。LM曲線は以下の式で記載できることを思い出しましょう。